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Teorema del resto e teorema di Ruffini

Il teorema del resto e il teorema di Ruffini sono due importanti strumenti per lo studio della divisibilità dei polinomi. Questi teoremi ci permettono di valutare la divisibilità dei polinomi senza dover eseguire le divisioni effettive.

Teorema del resto

Il teorema del resto afferma che se un polinomio \(P(x)\) viene diviso per un binomio di primo grado \(x - c\), il resto della divisione è uguale a \(P(c)\), ovvero al valore assunto dal polinomio quando \(x = c\). In altre parole, se abbiamo il polinomio \(P(x) = x^3 - 2x - 1\) e lo dividiamo per \(x - 2\), il resto della divisione sarà uguale a \(P(2)\), che è \(3\). Questo significa che il polinomio \(P(x)\) non è divisibile per \(x - 2\).

Teorema di Ruffini

Il teorema di Ruffini stabilisce una relazione tra la divisibilità di un polinomio e le sue radici. In particolare, afferma che se un polinomio \(P(x)\) è divisibile per un binomio di primo grado \(x - c\), allora \(c\) è una radice del polinomio, cioè \(P(c) = 0\). Viceversa, se \(c\) è una radice del polinomio, allora il polinomio è divisibile per \(x - c\). Ad esempio, se il polinomio \(P(x) = x^3 - 2x - 1\) ha come radice \(1\), allora è divisibile per \(x - 1\).

Regola di Ruffini

Per applicare i teoremi del resto e di Ruffini, possiamo utilizzare la regola di Ruffini, che ci consente di scomporre un polinomio di grado superiore al primo in modo semplice. La regola di Ruffini si basa sull'uso di una tabella contenente i coefficienti dei monomi del polinomio e le radici del termine noto. Attraverso una serie di operazioni tra i coefficienti e le radici, possiamo ottenere il quoziente e il resto della divisione.

Esempio di applicazione della regola di Ruffini

Prendiamo ad esempio il polinomio (dividendo) \(2x^3 - 4x^2 + 7x + 5\) e il binomio (divisore) \(x - 4\). Applicando la regola di Ruffini, costruiamo la tabella con i coefficienti dei monomi del polinomio e la radice \(4\) come segue:

• Iniziamo copiando i coefficienti del polinomio dividendo nella prima riga della tabella. Quindi, inseriamo la radice \(4\) nella casella iniziale della seconda riga. La restante parte la lasciamo vuota.
• Ora procediamo con la divisione utilizzando la regola di Ruffini. Per determinare il primo termine della terza riga, moltiplichiamo la radice \(4\) per il primo coefficiente della prima riga. In questo caso, otteniamo \(4 \times 2 = 8\). Copiamo il risultato nella casella della terza riga in corrispondenza della terza colonna.
• Successivamente, sommiamo il secondo termine della prima riga con il risultato ottenuto: \(8\). In questo caso, calcoliamo \((-4) + 8 = 4\) e inseriamo il risultato nella casella corrispondente della quarta riga (cioè sotto l'\(8\)).
• Calcoliamo \(4 \times 4\) ed inseriamo \(16\) alla terza riga, quarta colonna.
• Sommiamo \(7\) e \(16\) situati alla quarta colonna e scriviamo il risultato alla quarta riga: \(23\).
• Moltiplichiamo \(23 \times 4\) e inseriamo il risultato \(92\) nella colonna del termine noto \(5\) (alla terza riga).
• Sommiamo \(5\) e \(92\) e scriviamo il risultato \(97\) alla quarta riga. Sarà l'ultima cifra della tabella.

L'ultimo valore ottenuto nella quarta riga, \(97\), rappresenta il resto della divisione. Possiamo leggere il risultato completo scrivendo il polinomio quoziente come \(2x^2 + 4x + 23\) e il resto come \(97\).

Pertanto, la divisione del polinomio \(2x^3 - 4x^2 + 7x + 5\) per il binomio \(x - 4\) produce come risultato il quoziente \(2x^2 + 4x + 23\) e il resto \(97\).

\(

\begin{array}{c|ccc|c}
& 2 & -4 & 7 & 5 \\
\hline
4 \\
& & 8 & 16 & 92 \\
\hline
& 2 & 4 & 23 & 97 \\
\end{array}

\)

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